Algorithme sur les Arbres binaires

1) notations utilisées

Dans ce chapitre nous allons utiliser les notations suivantes :

Soit un arbre T : T.racine correspond au noeud racine de l'arbre T

Soit un noeud x :

x.gauche correspond au sous-arbre gauche du noeud x
x.droit correspond au sous-arbre droit du noeud x
x.clé correspond à la clé du noeud x

Il faut noter que si le noeud x est une feuille, x.gauche et x.droite sont des arbres vides (NIL)

2) calculer la hauteur d'un arbre

Voici l'algorithme qui permet de calculer la hauteur d'un arbre :

VARIABLE
T : arbre
x : noeud

DEBUT
HAUTEUR(T) :
  si T ≠ NIL :
    x ← T.racine
    renvoyer 1 + max(HAUTEUR(x.gauche), HAUTEUR(x.droit))
  sinon :
    renvoyer 0
  fin si
FIN

N.B. la fonction max renvoie la plus grande valeur des 2 valeurs passées en paramètre (exemple : max(5,6) renvoie 6

Nous avons ici un algorithme récursif. Vous aurez l'occasion de constater que c'est souvent le cas dans les algorithmes qui travaillent sur des structures de données telles que les arbres.

3) calculer la taille d'un arbre

Nous allons maintenant étudier un algorithme qui permet de calculer le nombre de noeuds présents dans un arbre.

VARIABLE
T : arbre
x : noeud

DEBUT
TAILLE(T) :
  si T ≠ NIL :
    x ← T.racine
    renvoyer 1 + TAILLE(x.gauche) + TAILLE(x.droit)
  sinon :
    renvoyer 0
  fin si
FIN

4) parcours d'un arbre

a) introduction

Il existe plusieurs façons de parcourir un arbre (parcourir un arbre = passer par tous les noeuds), nous allons en étudier quelques-unes. Le choix du parcours dépend du problème à traiter

Vous trouverez sur le lien ci-contre trois DEFINITIONS

b) parcourir un arbre dans l'ordre préfixe

Voici l'algorithme qui va permettre de parcourir un arbre dans l'ordre préfixe :

VARIABLE
T : arbre
x : noeud

DEBUT
PARCOURS-PREFIXE(T) :
  si T ≠ NIL :
    x ← T.racine
    affiche x.clé
    PARCOURS-PREFIXE(x.gauche)
    PARCOURS-PREFIXE(x.droit)
  fin si
FIN

Comme vous pouvez le constater ci-dessus, dans le cas du parcours préfixe, on affiche chaque noeud avant de parcourir son sous-arbre gauche et son sous-arbre droit.

c) parcourir un arbre dans l'ordre suffixe

Voici l'algorithme qui va permettre de parcourir un arbre dans l'ordre suffixe :

VARIABLE
T : arbre
x : noeud

DEBUT
PARCOURS-SUFFIXE(T) :
  si T ≠ NIL :
    x ← T.racine
    PARCOURS-SUFFIXE(x.gauche)
    PARCOURS-SUFFIXE(x.droit)
    affiche x.clé
  fin si
FIN

Dans le cas du parcours suffixe, on affiche chaque noeud après avoir parcouru son sous-arbre gauche et son sous-arbre droit.

d) parcourir un arbre dans l'ordre infixe

Voici l'algorithme qui va permettre de parcourir un arbre dans l'ordre infixe :

VARIABLE
T : arbre
x : noeud

DEBUT
PARCOURS-INFIXE(T) :
  si T ≠ NIL :
    x ← T.racine
    PARCOURS-INFIXE(x.gauche)
    affiche x.clé
    PARCOURS-INFIXE(x.droit)
  fin si
FIN

Dans le cas du parcours infixe, pour un noeud A donné, on parcourra le sous-arbre gauche de A, puis on affichera la clé de A puis enfin, on parcourra le sous-arbre droite de A

e) parcourir un arbre en largeur d'abord

Voici l'algorithme qui va permettre de parcourir un arbre en largeur d'abord :

T : arbre
Tg : arbre
Td : arbre
x : noeud
f : file (initialement vide)

DEBUT
PARCOURS-LARGEUR(T) :
  enfiler(T.racine, f) //on place la racine dans la file
  tant que f non vide :
    x ← defiler(f)
    affiche x.clé
    si x.gauche ≠ NIL :
      Tg ← x.gauche
      enfiler(Tg.racine, f)
    fin si
    si x.droit ≠ NIL :
      Td ← x.droite
      enfiler(Td.racine, f)
    fin si
  fin tant que
FIN

Vous noterez aussi que cet algorithme n'utilise pas de fonction récursive. Il est aussi important de bien noter l'utilisation d'une file (FIFO) pour cet algorithme de parcours en largeur.

Dans le cas d'un parcours en largeur d'abord on affiche tous les noeuds situés à une profondeur n avant de commencer à afficher les noeuds situés à une profondeur n+1.

5) Applications

activité 1

Soit l'arbre suivant :

Appliquez l'algorithme qui permet de calculer le hauteur d'un arbre binaire à l'arbre ci-dessus. Quel résultat obtenez-vous ?

activité 2

Soit l'arbre suivant :

Appliquez l'algorithme qui permet de calculer la taille d'un arbre binaire à l'arbre ci-dessus. Quel résultat obtenez-vous ?

activité 3

Soit l'arbre suivant :

Appliquez l'algorithme qui permet de trouver un parcours dans l'ordre préfixe à l'arbre ci-dessus. Quel résultat obtenez-vous ?

activité 4

Soit l'arbre suivant :

Appliquez l'algorithme qui permet de trouver un parcours dans l'ordre suffixe à l'arbre ci-dessus. Quel résultat obtenez-vous ?

activité 5

Soit l'arbre suivant :

Appliquez l'algorithme qui permet de trouver un parcours dans l'ordre infixe à l'arbre ci-dessus. Quel résultat obtenez-vous ?

activité 6

Soit l'arbre suivant :

Appliquez l'algorithme qui permet de trouver un parcours en largeur d'abord à l'arbre ci-dessus. Quel résultat obtenez-vous ?

activité 7

Soit l'arbre suivant :

Appliquez l'algorithme qui permet de trouver un parcours dans l'ordre infixe à l'arbre ci-dessus. Quel résultat obtenez-vous ?

Ces deux activités doivent se faire après avoir traiter le cours sur les Arbres binaires de recherche

activité 8

Appliquez l'algorithme de recherche d'une clé dans un arbre binaire de recherche sur l'arbre ci-dessous. On prendra k = 13. Quel résultat obtenez-vous ?

activité 9

Appliquez l'algorithme de recherche d'une clé dans un arbre binaire de recherche sur l'arbre ci-dessous. On prendra k = 16. Quel résultat obtenez-vous ?