Nous allons maintenant voir ce qu'est l'algorithmique.
Après avoir vu cette partie en 1er, vous pourrez répondre à ces questions
Un algorithme est un ensemble fini (au sens dénombrable) d'instructions précises permettant de résoudre une classe de problèmes.
L'algorithme doit être écrit sans ambiguïté, et être facilement transposable dans n'importe quel langage de programmation.
Si l'algorithme ne fonctionne que pour UN cas particulier, on ne parlera pas d'algorithme.
Une manière de calculer 5 x 4 n'est pas un algorithme.
Par contre, une façon de calculer a x b pourrait être vue comme un algorithme.
De façon plus précise, un algorithme fournit une SORTIE en fonction des données fournies en ENTREE.
ENTREE(S) → Algorithme → SORTIE
Gérard Berry parle des algorithmes comme étant des méthodes à appliquer sans réflechir, en suivant machinalement le déroulement et les ordres.
On sépare réflexion et exécution.
La réflexion est utilisée par l'informaticien lors de la création de l'algorithme.
Lors du déroulement, l'ordinateur exécute.
C'est tout.
L'algorithmique consiste à étudier des problèmes en vue de les résoudre à l'aide d'un algorithme le plus efficace possible.
On cherche donc :
Certains pensent que l'un des algorithmes les plus anciens est l'algorithme d'Euclide.
Cet algorithme permet de trouver le plus grand diviseur commun (PGDC) de deux entiers a et b.
Par exemple, pour a = 15 et b = 20, il s'agit de 5.
En effet,
Cet algorithme date de -300 et se trouve dans les écrits du mathématicien Euclide d'Alexandrie.
Il a été découvert de façon autonome en Inde et en Chine quelques siècles plus tard.
Vers 800, WMuhammad Ibn Mūsā al-Khuwārizmī dit Al-Khwarizmi, mathématicien, né dans dans l'actuel Ouzbékistan et mort à Badgad, publie de nombreux textes.
Son nom est bien entendu à l'orgine d'algorithme.
Depuis, bien des gens ont travaillé et travaillent toujours pour trouver, créer ou améliorer les algorithmes.
L'un des grands noms de l'algorithmie est Donald Knuth, informaticien et mathématicien américain de renom.
Il est un des pionniers de l'algorithmique et a fait de nombreuses contributions dans plusieurs branches de l'informatique théorique (fondements logiques et mathématiques de l'informatique).
Pour en savoir plus sur son oeuvre
The Art of Computer Programming
Beaucoup. Il existe notamment une catégorie entière de problèmes dits NP-complets qui posent problème.
L'exemple typique de ce type de problème est le problème du voyageur de commerce : un commercial doit passer par toutes les villes de son secteur.
Il cherche à optimer son parcours de façon à ce qu'il prenne le moins de temps possible.
Comment trouver la solution optimale ?
Avec 15 villes, on peut énumérer tous les cas possibles et prendre le meilleur.
Mais avec 20 000 villes à parcourir, on obtient un temps de calcul beaucoup trop grand pour être exploitable : les tracés routiers risquent d'avoir changé entre temps !
Les propriétés de ces problèmes complexes ?
L'algorithmique est donc un domaine d'études très riche en recherches passées et futures.
Si vous aimez les maths, l'informatique et les casses-têtes, c'est un domaine fait pour vous !
On souhaite écrire une fonction recherche(element,liste) en Python qui renvoie True ou False suivant que element se trouve ou non dans liste.
On donne ci-dessous la réponse d'un élève :
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recherche(3,[3,10,7]) et recherche(4,[3,10,7]) renvoient les valeurs attendues.False si le premier élément testé est différent de celui recherché comme indiqué dans le commentaire ligne 4 ?...CORRECTION...
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3
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6 | |
Nous allons maintenant tenter de réaliser un algorithme qui signale si un élément existe dans un tableau (et renvoie son index) ou renvoie -1 (ou renvoie VIDE) sinon.
Nous allons utiliser une BOUCLE NON BORNEE
Cette méthode se nomme également méthode par balayage ou recherche linéaire.
En anglais, on parle de linear search.
Vous allez comprendre tout de suite pourquoi en utilisant l'animation suivante : créer un tableau avec l'un des boutons aléatoires, choisir une valeur à chercher et appuyer sur le bouton lançant l'animation.
Valeur cherchée :
| ↓ | ||||||||||||||||||||
| Indice i | 00 | 01 | 02 | 03 | 04 | 05 | 06 | 07 | 08 | 09 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| Elément | 60 | 89 | 15 | 56 | 82 | 1 | 86 | 97 | 24 | 86 | 75 | 6 | 14 | 69 | 98 | 31 | 37 | 89 | 91 | 56 |
BUT : trouver la position de la première occurrence de l'élément x recherché dans un tableau t.
PRINCIPE (en 4 étapes) :
Prenons t = [13, 18, 89, 1024, 45, -12, 18]
| Indice i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Case t[i] | 13 | 18 | 89 | 1024 | 45 | -12 | 18 |
Voici trois exemples de réponses attendues :
Recherche de 89 (présent une fois) :
| t = [13, 18, 89, 1024, 45, -12, 18] | ⇒ | RECHERCHER | ⇒ | |
| et | 2 | |||
| x = 89 |
Recherche de 18 (présent deux fois) :
| t = [13, 18, 89, 1024, 45, -12, 18] | ⇒ | RECHERCHER | ⇒ | |
| et | 1 | |||
| x = 18 |
Recherche de 100 (non présent) :
| t = [13, 18, 89, 1024, 45, -12, 18] | ⇒ | RECHERCHER | ⇒ | |
| et | -1 | |||
| x = 100 |
But : trouver si un élément recherché existe bien dans un tableau. S'il existe, on fournit l'index de la première occurence trouvée. Sinon, il renvoie une réponse vide.
Principe : lecture séquentielle et progressive des différents éléments. On renvoie l'index du premier élément qui correspond. VIDE si aucun des éléments n'a correspondu à la recherche.
Avec une réponse -1 en cas de valeur non trouvée.
i ← 0
reponse ← -1
TANT QUE i < longueur du tableau ET que t[i] est différent de x
i ← i + 1
Fin TANT QUE
SI i < longueur
reponse ← i
Fin Si
Renvoyer reponse
01 Appliquer l'algorithme à la main avec une recherche sur 1024.
Vous devriez trouver qu'il renvoie 3.
Quelle est la condition qui provoque l'arrêt du TANT QUE : la valeur de la variable index ou le contenu qui correspond à la valeur voulue ?
...CORRECTION...
t ← [13, 18, 89, 1024, 45, -12, 18]
x ← 1024
longueur ← 7
i ← 0
Début du TANT QUE car 0 est inférieur à longueur et t[0] vaut 13 ce qui est différent de 1024
Du coup, i ← 1
Suite du TANT QUE car 1 est inférieur à longueur et t[1] vaut 18 ce qui est différent de 1024
Du coup, i ← 2
Suite du TANT QUE car 2 est inférieur à longueur et t[2] vaut 89 ce qui est différent de 1024
Du coup, i ← 3
Arrêt du TANT QUE car t[3] vaut 1024 !
Evaluation de la condition du SI : i (valant 3) est inférieur à longueur est évaluée à VRAI.
On renvoie 3
02 Appliquer l'algorithme à la main avec une recherche sur 1025.
Vous devriez montrer qu'il renvoie VIDE.
Quelle est la condition qui provoque l'arrêt du TANT QUE : la valeur de la variable index ou le contenu qui correspond à la valeur voulue ?
...CORRECTION...
t ← [13, 18, 89, 1025, 45, -12, 18]
x ← 1025
longueur ← 7
i ← 0
Début du TANT QUE car 0 est inférieur à longueur et t[0] vaut 13 ce qui est différent de 1025
Du coup, i ← 1
Suite du TANT QUE car 1 est inférieur à longueur et t[1] vaut 18 ce qui est différent de 1025
Du coup, i ← 2
Suite du TANT QUE car 2 est inférieur à longueur et t[2] vaut 89 ce qui est différent de 1025
Du coup, i ← 3
Suite du TANT QUE car 3 est inférieur à longueur et t[3] vaut 89 ce qui est différent de 1025
Du coup, i ← 4
Suite du TANT QUE car 4 est inférieur à longueur et t[4] vaut 45 ce qui est différent de 1025
Du coup, i ← 5
Suite du TANT QUE car 5 est inférieur à longueur et t[5] vaut -12 ce qui est différent de 1025
Du coup, i ← 6
Suite du TANT QUE car 6 est inférieur à longueur et t[6] vaut 18 ce qui est différent de 1025
Du coup, i ← 7
Arrêt du TANT QUE car i vaut 7, ce qui n'est pas inférieur strictement à longueur !
Condition du SI non validée : i (valant 7) inférieur à longueur est évaluée à FAUX.
On renvoie VIDE
03 18 apparaît deux fois dans le tableau. La valeur renvoyée par cet algorithme sur une recherche sur 18 donne :
Rappel du contenu
| Index | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Elément | 13 | 18 | 89 | 1024 | 45 | -12 | 18 |
...CORRECTION...
On lit le contenu progressivement de façon séquentielle.
En lisant l'algorithme, on voit qu'on renvoie la première occurence trouvée, soit 1.
04 ✎° Compléter la fonction Python rechercher() fournie pour qu'elle fasse correctement le travail demandé.
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17 | def rechercher(t:list, x:'Element') -> int:
"""Renvoie l'indice de la première occurrence de x dans t, -1 si non présent"""
i = ...
reponse = ...
longueur = ...
while i < ... and ...:
i = ...
if i < ...:
reponse = ...
return ...
tab_test = [13, 18, 89, 1024, 45, -12, 18]
a = rechercher(tab_test, 18)
b = rechercher(tab_test, 1024)
c = rechercher(tab_test, 1025)
|
...CORRECTION...
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17 | def rechercher(t:list, x:'Element') -> int:
"""Renvoie l'indice de la première occurrence de x dans t, -1 si non présent"""
i = 0
reponse = -1
longueur = len(t)
while i < longueur and t[i] != x:
i = i + 1
if i < longueur:
reponse = i
return reponse
tab_test = [13, 18, 89, 1024, 45, -12, 18]
a = rechercher(tab_test, 18)
b = rechercher(tab_test, 1024)
c = rechercher(tab_test, 1025)
|
Attention à l'une des erreurs typiques lors de l'utilisation d'une boucle non bornée TANT QUE : le fait d'oublier de donner une valeur par défaut permettant de rentrer dans la boucle à la variable qui gère la boucle.
4
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7
8 | i = 0
reponse = -1
longueur = len(t)
while i < longueur and t[i] != x:
i = i + 1
|
On voit bien que les lignes 4 et 6 permettent de rentrer une première fois dans la boucle.
Sans ces lignes, ça ne peut pas fonctionner.
Conclusion : Ne négligez pas cette phase d'initialisation.
Prouver qu'un algorithme sans récursivité (sans que l'algorithme ne s'appelle lui-même à l'intérieur de l'algorithme) s'arrête pour toutes ENTREES correctement fournies revient au final à prouver que la boucle ne s'exécutera qu'un nombre fini de fois.
Pour prouver qu'une boucle non bornée (Tant que) s'arrête, il faut montrer
while un > 0 etun est une suiteCette suite un est ce qu'on nomme le variant de boucle.
Dans ce cas, le variant va nécessairement décroitre et devenir à un moment négatif ou nul.
Par contre, si on veut que la boucle soit parcourue au moins une fois, le variant doit bien être initialement positif.
L'arrêt est donc obligatoire au bout d'un certain nombre de bouclages si on peut écrire la condition sous une forme semblable à :
1 | while un > 0:
|
Prouver la terminaison d'un algorithme revient donc à dire qu'on est certain que l'algorithme va s'arrêter quelque soit l'entrée (pourvu que l'entrée respecte les préconditions bien entendu).
Si on ne peut pas prouver sa terminaison, cela ne veut pas dire qu'il va tourner en boucle.
Cela veut dire que c'est possible.
Or, même s'il n'y a que 0,1% des entrées qui provoquent une boucle infinie, cela veut quand même dire que l'algorithme peut potentiellement provoquer un blocage.
Vous prendriez l'avion dans ces conditions ?
Prenons ce court programme :
1
2
3 | x = 3
while x < 100:
x = x + 10
|
Etape 1 : avant de rentrer dans la boucle
Ligne 1 : on voit que x vaut 3 initialement.
1 | x = 3
|
Comme nous avons fait 0 tour de boucle TANT QUE, nous noterons ceci :
x0 = 3 |
(1) |
Etape 2 : que se passe-t-il à chaque tour de boucle ?
Ligne 3 : on voit qu'on augmente x de 10 à chaque tour de boucle. La raison vaut donc +10.
3 | x = x + 10
|
On peut donc écrire que x après n+1 tours de boucles vaut x après n tours plus 10.
xN+1 = xN + 10
Nous avons donc affaire à une suite xN arithmétique de raison r = +10 et de valeur initiale x0 = 3 (voir (1)).
xN = x0 + r*n
xN = 3 + 10*n
On obtient donc :
xN = 3 + 10*n |
(2) |
Etape 3 : recherche du VARIANT
On cherche à voir si la condition de boucle de la ligne 2 peut s'écrire sous cette forme :
L2 | while un > 0:
|
On commence la démonstration en récupérant la condition de boucle réelle et on tente de la ramener à la forme attendue pour prouver la terminaison :
L2 | while x < 100:
|
On remplace donc x par xN et on en tente de revenir à la forme attendue.
L2 | while xN < 100:
|
On remplace xN en utilisant (2) :
L2 | while (3 + 10*n) < 100:
|
Pour revenir à la forme attendue, on écrit b > a plutôt que a < b :
L2 | while (3 + 10*n) < 100:
|
L2 | while 100 > (3 + 10*n):
|
Pour revenir à la forme attendue, on doit passer les termes de droite à gauche :
L2 | while ( 100 - 3 - 10*n ) > 0:
|
L2 | while (97 - 10*n) > 0:
|
Nous obtenons alors le VARIANT de boucle uN exprimé de cette façon :
L2 | while uN > 0: avec uN = (97 - 10*n)
|
Etape 4 : conclusion
On voit que le variant est une suite d'entiers dont la raison est r = -10 : on perd 10 à chaque fois. La suite est donc décroissante.
Nous obtenons donc bien
while uN > 0 uN = 97 - 10*n une suite d'entiers strictement décroissante.Nous venons donc de prouver la terminaison de cette boucle.
Exercice 1 Prouver la terminaison (ou non) du programme ci-dessous.
Il faudra trouver un variant qui soit une suite d'entiers positifs strictement décroissante et montrer que la condition du TANT QUE revient à écrire : TANT QUE un > 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 | def exercice(seuil):
'''Fonction-exercice qui ne sert à rien
:: param seuil(int) :: un entier positif
:: return (int) :: un résultat
'''
x = 0
while 5*x < seuil:
x = x + 1
return x
|
...CORRECTION...
Etape 1 : avant de rentrer dans la boucle
Ligne 6 : on voit que x vaut 0 initialement.
6 | x = 0
|
Comme nous avons fait 0 tour de boucle TANT QUE, nous noterons ceci :
x0 = 0 |
(1) |
Etape 2 : que se passe-t-il à chaque tour de boucle ?
Ligne 8 : on voit qu'on augmente x de 1 à chaque tour de boucle. La raison vaut donc +1.
8 | x = x + 1
|
On peut donc écrire que x après n+1 tours de boucles vaut x après n tours plus 1.
xN+1 = xN + 1
Nous avons donc affaire à une suite xN arithmétique de raison r = +1 et de valeur initiale x0 = 0 (voir (1)).
xN = x0 + r*n
xN = 0 + 1*n
On obtient donc juste :
xN = n |
(2) |
Etape 3 : recherche du VARIANT
On cherche à voir si la condition de boucle de la ligne 7 peut s'écrire sous cette forme :
L7 | while un > 0:
|
On commence la démonstration en récupérant la condition de boucle réelle et on tente de la ramener à la forme attendue pour prouver la terminaison :
L7 | while 5*x < seuil:
|
On remplace donc x par xN et on en tente de revenir à la forme attendue.
L7 | while 5*xN < seuil:
|
On remplace xN en utilisant (2) :
L7 | while 5*n < seuil:
|
Pour revenir à la forme attendue, on écrit b > a plutôt que a < b :
L7 | while 5*n < seuil:
|
L7 | while seuil > 5*n:
|
Pour revenir à la forme attendue, on doit passer les termes de droite à gauche :
L7 | while seuil > + 5*n:
|
L7 | while (seuil - 5*n) > 0:
|
Nous obtenons alors le VARIANT de boucle uN exprimé de cette façon :
L2 | while uN > 0: avec uN = seuil - 5*n
|
Etape 4 : conclusion
On voit que le variant est une suite d'entiers dont la raison est r = -5 : on perd 5 à chaque fois. La suite est donc décroissante.
Nous obtenons donc bien
while uN > 0 uN = seuil - 5*n une suite d'entiers strictement décroissante.Nous venons donc de prouver la terminaison de cette boucle.
Exercice 2 Prouver la terminaison (ou non) du programme ci-dessous.
Il faudra trouver un variant qui soit une suite strictement décroissante d'entiers positifs et montrer que la condition du TANT QUE revient à écrire : TANT QUE un > 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 | def exercice(seuil):
'''Fonction-exercice qui ne sert à rien
:: param seuil(int) :: un entier positif
:: return (int) :: un résultat
'''
x = 0
while 5*x < seuil:
x = x - 1
return x
|
...CORRECTION...
Etape 1 : avant de rentrer dans la boucle
Ligne 6 : on voit que x vaut 0 initialement.
6 | x = 0
|
Comme nous avons fait 0 tour de boucle TANT QUE, nous noterons ceci :
x0 = 0 |
(1) |
Etape 2 : que se passe-t-il à chaque tour de boucle ?
Ligne 8 : on voit qu'on diminue x de 1 à chaque tour de boucle. La raison vaut donc -1.
8 | x = x - 1
|
On peut donc écrire que x après n+1 tours de boucles vaut x après n tours plus 1.
xN+1 = xN - 1
Nous avons donc affaire à une suite xN arithmétique de raison r = -1 et de valeur initiale x0 = 0 (voir (1)).
xN = x0 + r*n
xN = 0 - 1*n
On obtient donc juste :
xN = -n |
(2) |
Etape 3 : recherche du VARIANT
On cherche à voir si la condition de boucle de la ligne 7 peut s'écrire sous cette forme :
L7 | while un > 0:
|
On commence la démonstration en récupérant la condition de boucle réelle et on tente de la ramener à la forme attendue pour prouver la terminaison :
L7 | while 5*x < seuil:
|
On remplace donc x par xN et on en tente de revenir à la forme attendue.
L7 | while 5*xN < seuil:
|
On remplace xN en utilisant (2) :
L7 | while 5*(-n) < seuil:
|
L7 | while -5*n < seuil:
|
Pour revenir à la forme attendue, on écrit b > a plutôt que a < b :
L7 | while -5*n < seuil:
|
L7 | while seuil > - 5*n:
|
Pour revenir à la forme attendue, on doit passer les termes de droite à gauche :
L7 | while seuil > - 5*n:
|
L7 | while (seuil + 5*n) > 0:
|
Nous obtenons alors le VARIANT de boucle uN exprimé de cette façon :
L2 | while uN > 0: avec uN = seuil + 5*n
|
Etape 4 : conclusion
On voit que le variant est une suite d'entiers dont la raison est r = +5 : on gagne 5 à chaque fois. La suite est donc croissante.
Nous obtenons donc
while uN > 0 uN = seuil + 5*n une suite d'entiers strictement croissante.Nous venons donc de prouver que cet algorithme ne s'arrête pas nécessairement. D'ailleurs la seule manière qu'il s'arrête est que le seuil soit négatif dès le départ.
Exercice 3 Prouver la terminaison (ou non) du programme de recherche linéaire.
Il faudra trouver un variant qui soit une suite strictement décroissante d'entiers positifs et montrer que la condition du TANT QUE revient à écrire : TANT QUE un > 0
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11 | def rechercher(t:list, x:'Element') -> int:
"""Renvoie l'indice de la première occurrence de x dans t, -1 si non présent"""
i = 0
reponse = -1
longueur = len(t)
while i < longueur and t[i] != x:
i = i + 1
if i < longueur:
reponse = i
return reponse
|
...CORRECTION...
Etape 0 : simplification
La condition de poursuite du TANT QUE se compose de deux conditions associées via un ET. On ne peut continuer que si les deux conditions sont vraies. Cela veut dire qu'on s'arrête dès qu'une des deux conditions est fausse.
Nous allons donc simplifier l'étude en commençant à regarder simplement l'arrêt à l'aide de la première condition. Si nous prouvons l'arrêt, l'algorithme s'arretera également si on lui donne encore plus de raisons de stopper la boucle non bornée.
Mettons de côté la seconde condition de poursuite t[i] != x.
On ne gardera que cela :
13 | while i < longueur:
|
Etape 1 : avant de rentrer dans la boucle
Ligne 11 : on voit que i vaut 0 initialement.
11 | i = 0
|
Comme nous avons fait 0 tour de boucle TANT QUE, nous noterons ceci :
i0 = 0 |
(1) |
Etape 2 : que se passe-t-il à chaque tour de boucle ?
Ligne 14 : on voit qu'on augmente i de 1 à chaque tour de boucle. La raison vaut donc +1.
14 | i = i + 1
|
On peut donc écrire que i après n+1 tours de boucles vaut i après n tours plus 1.
iN+1 = iN + 1
Nous avons donc affaire à une suite iN arithmétique de raison r = +1 et de valeur initiale i0 = 0 (voir (1)).
iN = i0 + r*n
iN = 0 + 1*n
On obtient donc juste :
iN = n |
(2) |
Etape 3 : recherche du VARIANT
On cherche à voir si la condition de boucle de la ligne 13 peut s'écrire sous cette forme :
L13? | while un > 0:
|
On commence la démonstration en récupérant la condition de boucle réelle et on tente de la ramener à la forme attendue pour prouver la terminaison :
L13 | while i < longueur:
|
On remplace donc i par iN et on en tente de revenir à la forme attendue.
L13 | while iN < longueur:
|
On remplace iN en utilisant (2) :
L13 | while n < longueur:
|
Pour revenir à la forme attendue, on écrit b > a plutôt que a < b :
L13 | while n < longueur:
|
L13 | while longueur > n:
|
Pour revenir à la forme attendue, on doit passer les termes de droite à gauche :
L13 | while (longueur - n) > 0:
|
Nous obtenons alors le VARIANT de boucle uN exprimé de cette façon :
L13 | while uN > 0: avec uN = longueur - n
|
Etape 4 : conclusion
On voit que le variant est une suite d'entiers dont la raison est r = -1 : on perd 1 à chaque fois. La suite est donc décroissante.
Nous obtenons donc bien
while uN > 0 uN = longueur - n une suite d'entiers strictement décroissante.Nous venons donc de prouver la terminaison de cette boucle.
Puisqu'il s'agit de la seule boucle de cette fonction, on peut en déduire que la fonction se termine également.
Nous avons vu que parcourir un tableau élément par élément nécessite un algorithme de recherche sequentiel
On remarquera que puisqu'il s'agit de lire les éléments sans savoir à l'avance où s'arrêter, on utilise une boucle non bornée TANT QUE.
On peut alors l'implémenter de différentes façons en fonction du langage utilisé.
On fera donc bien la différence entre l'algorithme qui impose de faire une boucle non bornée et l'implémentation de cet algorithme en Python qui permet :
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8 | def rechercher(t, x):
i = 0
reponse = -1
longueur = len(t)
while i < longueur and t[i] != x:
i = i + 1
if i < longueur:
reponse = i
return reponse
|
On peut faire plus simple en Python en profitant des boucles FOR et du fait qu'on sorte immédiatement des fonctions dès qu'on rencontre un return.
De l'extérieur, ça ne change rien : seul le code interne est différent.
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7 | def rechercher(t, x):
"""Renvoie l'indice de la première occurrence de x dans t, -1 si non présent
for i in range( len(t) ):
if t[i] == x:
return i
return -1
|
Au niveau algorithmique, quelle est la version la plus rigoureuse : celle avec le while ou celle avec for + return ?
...CORRECTION...
Sur le principe de la recherche, on doit interrompre la recherche dès qu'on trouve le bon élément. Il s'agit donc d'une boucle non bornée.
Donc, le while est le plus adapté.
13° Au niveau programmation, quelle est la version la plus lisible : celle avec le while ou celle avec for + return ?
...CORRECTION...
Cette fois, la version avec le for est plus lisible : pas besoin de noter l'initialisation, l'incrémentation et de tester s'il reste encore une case ou non.
Activité publiée le 12 02 2021
Modifié le : 17 02 2025
Auteur : Andjekel
Source : Infoforall - ows. h.